题解

思路

“抽 $1$ 张”卡在被抽到后立刻打出，不改变还能继续抽牌的数量，因此 $b$ 不影响答案。只考虑其余牌：把“抽 $2$ 张”卡记为 $+1$，把“抽 $0$ 张”卡和特殊卡记为 $-1$。初始余额为 $5$；每看到一张牌就按其类型改变余额，余额首次变为 $0$ 时停止。获胜等价于停止前已经见到全部五张特殊卡。

设停止时已经见到 $k$ 张“抽 $2$ 张”卡。为了同时见到全部特殊卡，停止前也恰好见到 $k$ 张“抽 $0$ 张”卡。去掉最后一个 $-1$ 后，把初始余额从 $5$ 平移为四个预先放置的 $+1$，问题变成一条不越过边界的格路。

由反射原理，这部分合法符号序列数可以化简为

$$\binom{2k+4}{k}\binom{k+4}{4}.$$

停止后的剩余普通牌可以任意排列，排列数为

$$\binom{a+c-2k}{a-k}.$$

因此对 $0\le k\le\min(a,c)$ 求和即可。

当 $c>a$ 时，还存在余额始终为正、直到整副牌抽完的获胜序列。再次使用反射原理，其数量为

$$\left(\binom{a+c+5}{c}-\binom{a+c+5}{c+5}\right)\binom{a+5}{5}.$$

全部非中性牌的类型序列数为

$$\frac{(a+c+5)!}{a!c!5!}.$$

用合法序列数除以总序列数即为答案。

做法

预处理阶乘、逆阶乘和组合数。每组数据枚举 $k=0,1,\ldots,\min(a,c)$，累加上述停止型序列；若 $c>a$，再加上抽完整副牌的序列，最后乘总序列数的逆元。

第一类子任务可以枚举全部非中性牌类型排列。第二类子任务可在状态 $(i,j,s)$ 上做概率 DP，分别表示已抽取的两种普通牌和特殊卡数量。

复杂度

预处理为 $O(4\times10^5)$。每组数据耗时 $O(\min(a,c))$，总空间为 $O(4\times10^5)$。