题解

思路

把每个箱子看成一个顶点，分别连出 $i\to P_i$ 与 $i\to Q_i$。

做法

由于 $P,Q$ 都是排列，两张图的每个连通块都是一个有向环。红球只有位于 $P$ 图中包含 $X$ 的环上才可能到达 $X$，蓝球也有同样的必要条件；若有球不满足它就直接无解。在包含 $X$ 的环上，找到沿有向边到 $X$ 距离最远的红球，从它到 $X$（不含 $X$）的路径记为序列 $S$。只要依次操作完 $S$，路径上的其他红球都会一并被带到 $X$，因此它完整刻画了红球必须按顺序完成的操作；蓝球同理得到序列 $T$。

一组操作能同时完成两种颜色，当且仅当它同时以 $S,T$ 为子序列，所以最少操作数是 $|S|+|T|-\operatorname{LCS}(S,T)$。

复杂度

两个序列中的箱子编号都不重复，把 $S$ 中每个编号映射成其位置，再按 $T$ 的顺序取出这些位置，原 LCS 就变成该位置序列的最长严格上升子序列，可用二分维护最小结尾在 $O(N\log N)$ 时间内求出；建环、检查可达性和构造序列均为 $O(N)$，空间复杂度为 $O(N)$。