题解

思路

把点编号视为模 $N$ 的整数。

做法

若上一步新涂的是 $x$，Alice 为恢复关于点 $0$ 所在轴的对称性，下一次只能补上 $-x$；Bob 则只能补上 $2K-x$。从某个轴上固定点开始，一轮中涂色顺序因此沿着 $0,2K,-2K,4K,-4K,\ldots$ 展开，能够覆盖的同余类大小为 $N/g$，其中 $g=\gcd(N,2K)$。

若 $g=1$，一轮覆盖全部点。若 $g=2$ 且 $N/2$ 为奇数，第一轮结束时 Bob 可以从自己轴上的另一个固定点开启第二轮，两个同余类恰好覆盖全圆；其他情况下，轮次会在仍有白点时因轴上可选点已经涂黑而停止。

复杂度

故只需计算 $g$ 并判断上述两种情形，每组时间复杂度为 $O(\log N)$，空间复杂度为 $O(1)$。