题解

思路

考察任意一个 $2\times 2$ 子网格：经过其左上角和右下角的路径可以选择先向右或先向下，而这两条局部路径的其余部分完全相同，所以右上角与左下角必须同色。

做法

反复应用这一条件可知，所有满足 $i+j$ 相同的格子都必须同色；反过来，每条从起点到终点的路径在每个 $i+j$ 上恰好经过一个格子，因此这个条件也足以保证所有路径经过的红格数相同。

于是分别处理每条反对角线：若同时出现已经固定的 R 和 B，答案为 $0$；若只出现一种固定颜色，所有空格都被唯一确定；若整条反对角线全为 .，则可整体选择红色或蓝色，贡献因子 $2$。

复杂度

将这些因子相乘并对 $998244353$ 取模即可，时间复杂度为 $O(HW)$，额外空间复杂度为 $O(H+W)$。