题解

思路

把单个水晶球写成列向量 $x=(A,B,C,1)^T$。七种操作中的前六种都可写成 $x\gets Mx$：前三种是属性间线性叠加，操作 4 利用常数坐标实现加法，操作 5 修改对角元，操作 6 把 $C$ 所在行清零并从常数坐标取值。

线段树节点保存区间向量和 $(\sum A,\sum B,\sum C,\text{len})^T$。同一个矩阵可直接作用于向量和，因此支持区间修改和区间查询。

做法

每个节点维护一个待下传矩阵 $L$。新操作矩阵为 $M$ 时，节点和更新为 $M\cdot sum$，懒标记更新为 $M\cdot L$，因为子节点将先经历旧操作、再经历新操作。查询时把懒标记下传即可。

子任务 1 可以逐元素模拟。所有区间均为 $[1,n]$ 时只需维护一个全局四维向量。操作仅含 $4,5,6,7$ 时三个属性可以分别维护独立懒标记。没有常数加法与赋值时，三维线性矩阵已足够。

证明

每种修改对 $(A,B,C,1)$ 都是线性变换。矩阵乘法的结合律保证按时间顺序复合后，节点懒标记与逐次执行操作等价。线性变换满足 $M(x_1+\cdots+x_t)=Mx_1+\cdots+Mx_t$，所以直接变换区间和与逐元素修改后再求和完全一致。线段树把任意区间拆成互不相交节点，查询合并后得到题目要求的三个属性和。

复杂度

• 时间复杂度：$O((n+m)\log n)$，矩阵维数为常数；
• 空间复杂度：$O(n)$。