题解

思路

把每座水塔看成一个流量网络中的点。建立源点 $s$ 和汇点 $t$：从 $s$ 向点 $i$ 连容量为 $a_i$ 的边，从点 $i$ 向 $t$ 连容量为 $b_i$ 的边，再从点 $i$ 向点 $i+1$ 连容量为 $c_i$ 的边。原过程能够酿出的葡萄酒总量恰好等于这个网络的最大流。

由最大流最小割定理转而维护最小割。对每个点，只需考虑它位于源侧或汇侧。若点 $i$ 位于汇侧，割掉 $s\to i$，代价为 $a_i$；若点 $i$ 位于源侧，割掉 $i\to t$，代价为 $b_i$。此外，仅当点 $i$ 位于源侧而点 $i+1$ 位于汇侧时，还要割掉容量为 $c_i$ 的边。

做法

线段树的每个区间维护一个 $2\times2$ 表。表中第 $(u,v)$ 项表示区间左端点状态为 $u$、右端点状态为 $v$ 时的最小割代价。叶子只有两种合法状态，代价分别为 $a_i$ 与 $b_i$。

合并左右区间时枚举相接的两个端点状态。若左区间右端在源侧、右区间左端在汇侧，额外加上分界阀门的容量；其余情况直接相加并取最小值。一次修改只影响对应叶子以及从该叶子到根的合并结果。根节点四个状态的最小值就是答案。

在第一类子任务中，可在每次修改后直接按水塔顺序模拟。第二类子任务的阀门永不截断水流，可维护 $a_i-b_i$ 的最大后缀和来计算最终剩余水量。

正确性证明

网络中，从源点流入第 $i$ 个点的流量表示该塔拥有的水，从该点流向汇点的流量表示转化成的葡萄酒，流向下一点的流量表示通过阀门的水。因此可行流与原酿造过程一致，最大流值就是 $W(a,b,c)$。

任意最小割可用每个水塔点所属的一侧表示。点在汇侧时边 $s\to i$ 跨割，贡献 $a_i$；点在源侧时边 $i\to t$ 跨割，贡献 $b_i$。相邻两点只有在前者位于源侧、后者位于汇侧时，边 $i\to i+1$ 跨割并贡献 $c_i$。线段树表恰好枚举并最小化这些状态及跨边代价，所以根节点给出整个网络的最小割。由最大流最小割定理，该值等于所求葡萄酒总量。

复杂度

建树时间为 $O(n)$，每次修改时间为 $O(\log n)$，总时间为 $O(n+q\log n)$，空间为 $O(n)$。