题解

思路推导

一次操作保留所选位置，并让它吸收左右两个位置的值。追踪各个原始数最终是否被计入，可以得到：最后留下的值等于从圆环某个位置开始、每次向前跨两个位置，连续选取 $(n+1)/2$ 个数之和。反过来，每个这样的选择都可以按相反顺序完成操作，因此只需在这些候选和中取最大值。

由于 $n$ 为奇数，不断把下标增加 $2$ 会恰好遍历所有位置。把这种遍历顺序写成一个长度为 $n$ 的环状序列，问题就变成求其中长度为 $(n+1)/2$ 的最大环形连续段和。

做法

先计算从位置 $1$ 开始、每次跨两个位置得到的前 $(n+1)/2$ 个数之和。随后把起点沿圆环前移两个位置：删除旧窗口的第一个数，并加入它在遍历顺序中的下一个数。因为 $n$ 为奇数，执行 $n$ 次后会考察所有可能起点。

正确性证明

每次操作都会删除当前保留位置的两个邻居。将操作过程反向观察，最终值所包含的原始位置在圆环上必然隔一个取一个，共有 $(n+1)/2$ 个；选定其中的起点后，这个集合唯一确定。按删除顺序反向构造，可以实现每个这样的集合，所以候选集合与所有可达圆环值一一对应。

算法的初始窗口对应一个候选集合。每次沿“下标加二”的遍历顺序滑动一位，恰好删除当前起点并加入下一个尚未包含的位置，因此窗口始终对应一个合法候选集合。由于 $2$ 与奇数 $n$ 互质，滑动 $n$ 次遍历全部起点。取这些窗口和的最大值，便是最大可达圆环值。

复杂度分析

时间复杂度为 $O(n)$，空间复杂度为 $O(n)$。