统计超序列

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题目描述

给定一个长度为 $n$ 的整数数组 $a$，其中所有元素 $a_i$ 都在区间 $[1, k]$ 内。问有多少个长度为 $m$ 的不同整数数组 $b$，其中所有元素 $b_i$ 也都在区间 $[1, k]$ 内，并且 $a$ 是 $b$ 的一个子序列？如果两个数组在至少一个位置不同，则认为它们是不同的。

如果一个序列 $x$ 可以通过从序列 $y$ 中删除若干（可能为零或全部）元素得到，则称 $x$ 是 $y$ 的一个子序列。

由于答案可能很大，请输出答案对 $10^9+7$ 取模后的结果。

输入格式

输入的第一行包含一个整数 $t$（$1 \le t \le 10^4$），表示测试用例的数量。接下来是每个测试用例的描述。

每个测试用例的第一行包含三个整数 $n$、$m$、$k$（$1 \le n \le 2\cdot 10^5$，$n \le m \le 10^9$，$1 \le k \le 10^9$），分别表示数组 $a$ 的长度、数组 $b$ 的长度，以及数组中允许的最大值。

接下来一行包含 $n$ 个整数 $a_1, a_2, \ldots, a_n$（$1 \le a_i \le k$），表示数组 $a$ 的元素。

保证所有测试用例中 $n$ 的总和不超过 $2\cdot 10^5$。

输出格式

对于每个测试用例，输出一个整数，表示满足条件的数组 $b$ 的数量，对 $10^9+7$ 取模。

样例输入 1

7
1 1000000 1
1
3 4 3
1 2 2
5 7 8
1 2 3 4 1
6 6 18
18 2 2 5 2 16
1 10 2
1
8 10 1234567
1 1 2 1 2 2 2 1
5 1000000000 1000000000
525785549 816356460 108064697 194447117 725595511

样例输出 1

1
9
1079
1
1023
906241579
232432822

提示

对于第一个样例，由于 $k=1$，只有一个长度为 $m$ 的数组，即 $[1, 1, \ldots, 1]$。这个数组包含原数组作为子序列，因此答案为 1。

对于第二个样例，满足条件的 $9$ 个数组分别为 $[1, 1, 2, 2]$，$[1, 2, 1, 2]$，$[1, 2, 2, 1]$，$[1, 2, 2, 2]$，$[1, 2, 2, 3]$，$[1, 2, 3, 2]$，$[1, 3, 2, 2]$，$[2, 1, 2, 2]$，$[3, 1, 2, 2]$。

对于第四个样例，由于 $m=n$，唯一一个长度为 $m$ 的数组包含 $a$ 作为子序列的就是 $a$ 本身。

数据范围

对于所有数据，$1\le t\le10^4$，$1\le n\le2\times10^5$，$n\le m\le10^9$，$1\le k\le10^9$，$1\le a_i\le k$，且所有测试用例的 $n$ 之和不超过 $2\times10^5$。

每个测试点独立计分。